x²+9y⁴+1 ≥ -3xy²-x+3y²
x²+x+1 ≥ -3xy²+3y²-9y⁴
x²+x+1 ≥ -3y²(x-1+y²)
y²≥0 за будь-якого значення у
⇒ -3y²≤0
Знайдемо вершину параболи f(x)=x²+x+1
xo= -b/2a = -1/2= -0,5
f(xo)= 0,25-0,5+1=0,75
Вітки параболи напрямлені вгору, адже а>0, отже в такому випадку значення виразу x²+x+1 завжди додатнє (бо функція завжди додатня)
Тоді x²+x+1>0 за будь-якого значення х
1)Якщо у=0, x-будь-яке число, то -3y²=0 ⇒ -3y²(x-1+y²)=0
Як вказано раніше, x²+x+1>0
Будь-яке додатнє число більше нуля, отже й
x²+x+1 > -3y²(x-1+y²) ⇒ x²+9y⁴+1 ≥ -3xy²-x+3y²
2) Якщо х=0, y≠0,
З іншого боку, нерівність можна перетворити на таку:
x²+x+3xy² ≥ 3y²-9y⁴-1
х(x+1+3y²) ≥ 3y²-9y⁴-1
Якщо один із множників--нуль, то і весь вираз дорівнює нулю:
Необхідно довести, що
3y²-9y⁴-1 ≤ 0
-(3y²)²+3y²-1 ≤ 0
y⁴≥0
Заміна: 3y²=n, n>0
-n²+n-1≤ 0
f(n)= -n²+n-1
no= -1/-2 = 1/2= 0,5
f(no)= -0,25+0,5-1 = -0,75
Вітки параболи напрямлені вниз, бо а<0
Отже, -n²+n-1≤ 0 ⇒ 3y²-9y⁴-1≤0
х(x+1+3y²) ≥ 3y²-9y⁴-1 ⇒ x²+9y⁴+1 ≥ -3xy²-x+3y²
3) Якщо х>0, y≠0
x²+x+3xy² ≥ 3y²-9y⁴-1
x²≥0
Як зазначено раніше, 3y²-9y⁴-1<0
Відомо, що x²>0, 3y²>0
Оскільки х--додатнє число, то 3xy²>0
При додаванні додатніх чисел результат теж додатній: x²+x+3xy²>0
Додатнє число завжди більше за від'ємне, тож
x²+x+3xy² > 3y²-9y⁴-1 ⇒ x²+9y⁴+1 ≥ -3xy²-x+3y²
4) Якщо х<0, y≠0
x²+x+3xy² ≥ -9y⁴+3y²-1
Заміна: 3y²=n, n>0
f(x)=x²+x(1+n)
b=1+n
коефіцієнт b не впливає на зміщення по ординаті, а коефіцієнта с в наданій квадратичній функції немає. Також вітки параболи напрямлені вгору, бо а>0.
Таким чином, x²+x(1+n)>0, а -n²+n-1<0, тому x²+x(1+n)>-n²+n-1<0 ⇒ x²+x+3xy² ≥ -9y⁴+3y²-1 ⇒ x²+9y⁴+1 ≥ -3xy²-x+3y²
Нерівність доведено
