Объяснение:
2!·4!·6!·...·(2n)!≥((n+1)!) ⁿ
Неравенство либо не должно быть строгим, либо нужно доказывать при n≥2. Так как при n=1 оно превращается в равенство.
Введём следующее обозначение. A(n)=2!·4!·6!·...·(2x)!; B(n)=((n+1)!)ⁿ
Докажем данное неравенство с метода математической индукции.
База верна.
A(1)=2!, B(1)=((1+1)!)¹=2!, A(1)=B(1)⇒A(1)=B(1). То есть, при n=1 имеем равенство.
A(2)=2!4!=2!·4·4!>2!·3·4!=3!·4!>3!·3!=(3!)²=B(2)⇒A(2)>B(2)
Предположим, что неравенство выполняется при n, то есть A(n)>B(n)
Докажем, что неравенство выполняется при n+1, то есть A(n+1)>B(n+1)
A(n+1)=2!·4!·6!·...·2n!·(2(n+1))!=A(n)·(2(n+1))!>B(n)·(2(n+1))!=((n+1)!)ⁿ·(2(n+1))!>((n+1)!)ⁿ·(n+1)!=((n+1)!)ⁿ⁺¹=B(n+1)⇒A(n+1)>B(n+1).
Ч.т.д
