Одно и только одно решение. x₀∈(2⁻¹⁰;2⁻⁹)
Объяснение:
f(x)=log₀,₅x; g(x)=(x+3)²
Функция f(x)=log₀,₅x определена и строго убывает при x∈(0;+∞). Значить возможные решения имеет смысл искать при x∈(0;+∞).
Функция g(x)=(x+3)² при x∈(0;+∞) возрастает.
Если на определенном промежутке обе функции непрерывны, так же одна из функций возрастает, а вторая убывает, то они пересекаются не более чем в одной точке. Из чего следует, что уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного решения.
Рассмотрим два значения аргумента. f(x)=log₀,₅x; g(x)=(x+3)²
1) x=2⁻⁹
f(2⁻⁹)=log₀,₅2⁻⁹=9
g(2⁻⁹)=(2⁻⁹+3)²=9+3·2⁻⁸+2⁻¹⁸>9⇒f(2⁻⁹)<g(2⁻⁹)
2) x=2⁻¹⁰
f(2⁻¹⁰)=log₀,₅2⁻¹⁰=10
g(2⁻¹⁰)=(2⁻¹⁰+3)²=9+3·2⁻⁹+2⁻²⁰<9+1=10⇒f(2⁻⁹)>g(2⁻⁹)
Из чего следует,что данное уравнение имеет единственный действительный корень, и он принадлежит отрезку [2⁻¹⁰;2⁻⁹]
