Дві сторони трикутника дорівнюють 2,7 см і 4,2 см. Якому цілому числу сантиметрів НЕ може дорівнювати третя сторона трикутника?
А) 2 см; Б) 4 см; В) 6 см; Г) 8 см.

7 . Один з гострих кутів прямокутного трикутника на 30° менший від другого, а гіпотенуза трикутника дорівнює 8 см. Знайдіть менший з його катетів.
А) 2 см; Б) 4 см; В) 5 см; Г) 6 см.

8. У трикутнику два кути дорівнюють 60° і 50°. Знайдіть кут між прямими, що містять бісектриси цих кутів.
А) 125°; Б) 115° ; В) 65°; Г) 55°.

9. Периметр трикутника дорівнює 16 см. Якою НЕ може бути довжина однієї з його сторін?
А) 8 см; Б) 7,5 см; В) 7 см; Г) 2 см.

|10. Бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника
дорівнює основі цього трикутника. Знайдіть кут при основі
цього трикутника.
А) 60°; Б) 72°; В) 84°; Г) 96°.

11. Зовнішні кути трикутника відносяться як 3 : 5 : 7. Знайдіть менший з внутрішніх кутів трикутника.
А) 12°; Б) 24°; В) 60°; Г) інша відповідь

12. У прямокутному трикутнику один з кутів дорівнює 60°, а сума меншого катета і медіани, проведеної до гіпотенузи,дорівнює 10 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.
А) 6 см; Б) 8 см; В) 10 см; Г) 15 см.

Или, по-другому, сколько сочетаний из всех пяти букв S, P, O, R и T можно составить. Буквы не должны повторяться. Нужно использовать все буквы, значит "слова" должны состоять из пяти букв.

Ищем советания из пяти букв:

первой ставим любую из пяти букв, таких вариаций 5 (первая буква — S, или первая буква — P, или первая буква — O, и т. д.);

второй ставим любую из четырёх оставшихся букв, — 4;

третьей ставим любую из трёх оставшихся букв, — 3;

четвёртой ставим любую из двух оставшихся букв, — 2;

пятой ставим оставшуюся букву, — 1.

Умножаем, 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 — столько сочетаний букв ("слов") всего можно составить.

НО. Нам нужно, чтобы две буквы "S" и "P" не стояли рядом.

если буквы стоят на первом и втором месте:

SP×××

первой ставим букву S — 1, второй ставим P — 1, третьей ставим любую из трёх оставшихся букв — 3, четвёртой ставим любую из двух оставшихся букв — 2, пятой ставим оставшуюся букву — 1,

1 × 1 × 3 × 2 × 1 = 6,

PS×××

1 × 1 × 3 × 2 × 1 = 6;

если на втором и третьем месте:

×SP××

первой ставим не S, и не P, любую из трех оставшихся букв — 3, второй ставим S — 1, третьей ставим P — 1, четвёртой ставим любую из двух оставшихся букв — 2, пятой ставим оставшуюся букву — 1,

3 × 1 × 1 × 2 × 1 = 6,

×PS××

3 × 1 × 1 × 2 × 1 = 6;

если на третьем и четвёртом месте:

××SP×

3 × 2 × 1 × 1 × 1 = 6,

××PS×

3 × 2 × 1 × 1 × 1 = 6;

если на четвёртом и пятом месте:

×××SP

3 × 2 × 1 × 1 × 1 = 6,

×××PS

3 × 2 × 1 × 1 × 1 = 6.

Складываем (6+6) + (6+6) + (6+6) + (6+6) = 48 — столько сочетаний, когда буквы "S" и "P" стоят рядом.

120 - 48 = 72 — столько "слов" можно составить из всех букв слова "SPORT" так, чтобы буквы "S" и "Р" не стояли рядом.

ответ: 72

Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.

1-ое свойство, которое понадобится

То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.

2-ое свойство, которое нам понадобится:

То есть довольно аналогичная вещь в произведении

На нашем примере все увидим

Находим остатки по модулю 31

Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, , но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32

Учитываем, что , получаем

То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым

Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.

То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.