Найдите производную функции f(x)√(-x^2+5x-4) при 1<x<4​

Хорошо, давайте решим этот математический вопрос вместе.

Итак, нам нужно найти производную функции \(f(x) = \sqrt{-x^2 + 5x - 4}\) при условии \(1 < x < 4\).

Шаг 1: Начнем с нахождения производной корня функции.

Правило для нахождения производной корня функции говорит, что если у нас есть функция \(f(x) = \sqrt{g(x)}\) и \(g(x)\) - дифференцируемая функция, тогда производная данной функции будет равна \(\frac{{g'(x)}}{{2\sqrt{g(x)}}}\).

Применим это правило к нашей функции \(f(x) = \sqrt{-x^2 + 5x - 4}\).

Пусть \(g(x) = -x^2 + 5x - 4\). Тогда производная функции \(g(x)\) будет \(g'(x) = -2x + 5\).

Теперь мы можем найти производную корня нашей функции \(f(x)\):

\(f'(x) = \frac{{g'(x)}}{{2\sqrt{g(x)}}}\)

\(f'(x) = \frac{{-2x + 5}}{{2\sqrt{-x^2 + 5x - 4}}}\)

Шаг 2: Теперь, чтобы найти производную функции \(f(x)\) при условии \(1 < x < 4\), нам нужно найти значение \(f'(x)\) в этом интервале.

Возьмем каждое значение \(x\) в этом интервале по очереди и подставим его в выражение для \(f'(x)\):

a) При \(x = 2\):

\(f'(2) = \frac{{-2(2) + 5}}{{2\sqrt{-2^2 + 5(2) - 4}}}\)

\(f'(2) = \frac{{-4 + 5}}{{2\sqrt{-4 + 10 - 4}}}\)

\(f'(2) = \frac{{1}}{{2\sqrt{2}}}\)

\(f'(2) = \frac{{1}}{{2 \cdot \sqrt{2}}}\)

b) При \(x = 3\):

Точно так же, мы подставляем \(x = 3\) в выражение для \(f'(x)\):

\(f'(3) = \frac{{-2(3) + 5}}{{2\sqrt{-3^2 + 5(3) - 4}}}\)

\(f'(3) = \frac{{-6 + 5}}{{2\sqrt{-9 + 15 - 4}}}\)

\(f'(3) = \frac{{-1}}{{2\sqrt{2}}}\)

\(f'(3) = \frac{{-1}}{{2 \cdot \sqrt{2}}}\)

Шаг 3: Таким же образом мы можем подставить \(x = 1\) и \(x = 4\) в выражение для \(f'(x)\) и получить их значения.

Таким образом, производная функции \(f(x)\) при условии \(1 < x < 4\) равна:

\(f'(x) = \begin{cases}
\frac{{1}}{{2 \cdot \sqrt{2}}}, & \text{при } x = 2 \\
\frac{{-1}}{{2 \cdot \sqrt{2}}}, & \text{при } x = 3 \\
\end{cases}\)

Надеюсь, данное объяснение позволяет понять, каким образом мы приходим к ответу и какие шаги следует выполнить. Если у вас есть любые дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!