Нужно решить некоторые задания.

1. Решите уравнения:

1) 5x² - 10 = 0;
2) 3x² + 4x = 0;
3) x² + 6x - 7 = 0;
4) 3x² + 7x + 2 = 0;
5) x² - 3x + 1 = 0;
6) x² - x + 3 = 0.

2. Составьте приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна числу 6, а произведение - числу 4.

3. Одна из сторон прямоугольника на 7 см. больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 44 см.²

4. Число -6 является корнем уравнения 2x² + bx - 6 = 0. Найдите второй корень уравнения и значение b.

5. При каком значении a уравнение 2x² + 4x + a = 0 имеет единственный корень?

6. Известно, что x1 (нижний индекс цифры) и x2 - корни уравнения x² - 14x + 5 = 0. Не решая уравнения, найдите значения выражения x1² + x2².

1) Решение уравнений:

1) 5x² - 10 = 0:

Для начала, добавим 10 к обеим сторонам уравнения:

5x² = 10

Затем, разделим обе стороны на 5:

x² = 2

И, наконец, возьмем квадратный корень от обеих сторон:

x = ±√2

Ответ: x = ±√2

2) 3x² + 4x = 0:

Вынесем общий множитель:

x(3x + 4) = 0

Таким образом, из этого уравнения получаем два возможных решения:

x = 0 и 3x + 4 = 0

Решим второе уравнение:

3x + 4 = 0

3x = -4

x = -4/3

Ответ: x = 0 и x = -4/3

3) x² + 6x - 7 = 0:

Чтобы решить это уравнение, можно использовать метод разложения на множители или квадратное уравнение. Воспользуемся методом квадратного уравнения:

Сначала найдем дискриминант, который равен:

D = b² - 4ac

a = 1, b = 6 и c = -7

D = 6² - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64

Теперь найдем корни уравнения:

x = (-b ± √D) / 2a

x = (-6 ± √64) / (2 * 1)

x = (-6 ± 8) / 2

Имеем два возможных решения:

x₁ = (-6 + 8) / 2 = 1

x₂ = (-6 - 8) / 2 = -7

Ответ: x₁ = 1 и x₂ = -7

4) 3x² + 7x + 2 = 0:

Давайте воспользуемся методом разложения на множители. Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 7, а произведение - 6. Такими числами будут 1 и 6.

Теперь мы можем записать уравнение в виде:

3x² + 6x + x + 2 = 0

Группируем первые два и последние два члена:

(3x² + 6x) + (x + 2) = 0

Факторизуем каждую группу:

3x(x + 2) + 1(x + 2) = 0

(3x + 1)(x + 2) = 0

Таким образом, имеем два возможных решения:

3x + 1 = 0 или x + 2 = 0

Решим первое уравнение:

3x + 1 = 0

3x = -1

x = -1/3

Решим второе уравнение:

x + 2 = 0

x = -2

Ответ: x = -1/3 и x = -2

5) x² - 3x + 1 = 0:

Это квадратное уравнение. Чтобы у него был единственный корень, дискриминант должен быть равен нулю.

D = (-3)² - 4(1)(1) = 9 - 4 = 5

Значит, уравнение имеет два различных корня.

Ответ: нет такого значения a, при котором уравнение имело бы единственный корень.

6) x₁² + x₂²:

Нам не нужно решать уравнение, чтобы найти это значение. Мы знаем, что сумма корней равна коэффициенту при x с изменением знака, деленному на коэффициент при x².

x₁ + x₂ = -(-14) / 1 = 14

Таким образом, x₁ + x₂ = 14

Мы также знаем, что произведение корней равно свободному члену, деленному на коэффициент при x².

x₁ * x₂ = 5 / 1 = 5

Таким образом, x₁ * x₂ = 5

Теперь мы можем использовать эти значения, чтобы найти выражение:

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2(x₁ * x₂)

x₁² + x₂² = (14)² - 2(5)

x₁² + x₂² = 196 - 10

x₁² + x₂² = 186

Ответ: x₁² + x₂² = 186