Из 30 чисел (1, 2, 3, ..., 30) — 4 правильных (нужных). Какие 4 числа стоит выбрать, опираясь на теорию вероятности?

1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

  на промежутке [-4; 1]

Точка разрыва  x=9   в заданный интервал не входит.

Первая производная для нахождения точек экстремумов.

Обе точки экстремумов не попадают в интервал  x∈[-4; 1]

Значения функции на концах интервала

ответ: наименьшее значение функции ;

           наибольшее значение функции F(1) = 0,75

-----------------------------------------------------------------------------

2. Записать уравнение касательной к графику

функции   F(x)=x⁴-2x   в точке  x₀=-1

Уравнение касательной имеет вид  y = F(x₀) + F’(x₀)·(x - x₀)

F(-1) = x⁴-2x = (-1)⁴ - 2(-1) = 1+2 = 3

F'(-1) = (x⁴-2x)' = 4x³ - 2 = 4(-1)³ - 2 = -6

y = F(x₀) + F’(x₀)·(x - x₀) = 3 - 6 (x + 1) = 3 - 6x -6 = -6x - 3

ответ:  уравнение касательной   y = -6x - 3

---------------------------------------------------------------------------

3. Исследовать функцию и построить ее график  F(x)=x³-3x²

1) Область определения  D(F) = R

2) Область значений  E(F) = R

3) Нули функции

   F(x)=x³-3x² = 0;      x²(x - 3) = 0;     x₁ = 0;  x₂ = 3

4) Пересечение с осью OY

  x = 0;   F(0) = 0³-3·0² = 0

5) Экстремумы функции

  F'(x) = 0;   (x³-3x²)' = 0;   3x² - 6x = 0;  3x(x - 2) = 0;

  x₁ = 0;  F(0) = 0;   F"(0) = 6x - 6 = -6   ⇒  локальный максимум.

  x₂ = 2;  F(2) = 2³-3·2² = -4;  F"(2) = 6x - 6 = 6  ⇒  локальный минимум.

6) Монотонность функции.

   Интервалы знакопостоянства первой

              производной F'(x) = 3x(x - 2)

   ++++++++ (0) ------------- (2) +++++++++> x

         /                    \                    /

  x ∈ (-∞; 0)∪(2; +∞)  -  функция возрастает

  x ∈ (0;2)  -  функция убывает

7) Функция не периодическая, общего вида (не является чётной, не является нечётной).

8) Дополнительные точки для построения

x₃ = -1;  y₃ = -4;  x₄ = 1;  y₄ = -2

9) График функции в приложении

1
a)f`(x)=√(x²-1)+2x(x-1)/2√(x²-1)=(x²-1+x²-x)/√(x²-1)=(2x²-x-1)/√(x²-1)
f`(2)=(8-2-1)/(√(4-1)=5/√3
b)y`=-1/√(1-(2x-1)³/3)*2/√3=-2√3/√3*√(2-4x²+4x)=-2/√(2-4x²+4x)
2
y=x³-6x²+9
D(y)=R
y(-x)=-x³-6x²+9 ни четная,ни нечетная
(0:9)-точка пересечения с осью оу
y`=3x²-12x=3x(x-4)=0
x=0  x=4
             +                  _                      +
(0)(4)
возр x∈(-∞;0) U (4;∞)
убыв x∈(0;4)
ymax=y(0)=9
ymin=y(4)=-31
доп.точки
y(-1)=2
y(1)=4
y(5)=-16
график во вложении
3
1)Sx²dx/√(x³-5)=1/3Sdt/√t=2t/3=2√(x³-5)/3+C
t=x³-5⇒dt=3x²dx
2)S(4-3x)*e^3xdx=S(4e^3x-3x*e^3x)dx=-3Se^3x*xdx+4Se^3xdx=
=-e^3x*x+e^3x/3+4e^3x/3=-e^3x*x+5e^3x/3=e^3x(5/3-x)+C
В 4 в условии ошибка