При каких значениях a уравнение |x²-6x|=a имеет ровно три корня?

Фактически, мы можем сказать, что данный график - это парабола, ветки которой направленны вверх. Вершина параболы - это точка наименьшего значения уравнения, ее можно найти по данной формуле:

(наименьшее значение выражения)

Подставив это значение, мы получим x₀ координату:

(значение переменной x, при самом наименьшем значении)

Для того, что бы доказать то, что значения всегда положительны достаточно построить график:

Мы уже знаем координаты вершины, потому нам следует всего лишь найти точку пересечения с осью ординат, подставив в уравнение вместо x, значения 0:

По аналогии, зная что данный график - это парабола можно подставить точку "-6"

Имея эти две точки мы можем построить график (прикреплённый файл).

По графику видно, что значения "y" - всегда положительны

(а-1)x^2+(a+4)x-(a+3)=0
A = a - 1
B = a + 4
C = -(a + 3)
1) А = 0 => 1 корень
2)A не равно 0 => а не равно 1
   1) В = 0 => a = -4
-5x^2 + 2 = 0
x^2 = 2/5
2 различных корня
   2) С = 0 => a = -3
-4x^2 + x = 0
x(1 - 4x) = 0
2 различных корня
  3) В не равно 0 => а не равно -4
     С не равно 0=> а не равно -3
(а-1)x^2+(a+4)x-(a+3)=0
D = (a+4)^2 + 4(a-1)(a+3) = a^2 + 8a + 16 + 4a^2  + 8a - 3 = 5a^2 + 16a + 13 >0
D1 = 64 - 260 < 0 => нет таких а
ответ: при а = -4 => 2 корня
при а = -3 => 2 корня