решите неравенство методом интервалов.​

(5x + 6)⁴ + 5(5x + 6)² - 6 = 0.

Обозначим (5x + 6)² = у и перепишем уравнение в виде

у² + 5у - 6 = 0.

D = 5² - 4 · 1 · (-6) = 25 + 24 = 49; √49 = 7.

у₁ = (-5 + 7)/(2 · 1) = 2/2 = 1, у₂ = (-5 - 7)/(2 · 1) = -12/2 = -6.

Вернемся к обозначениям:

(5x + 6)² = -6 - не имеет решений, т.к. квадрат выражения не может быть отрицательным.

(5x + 6)² = 1,

25х² + 60х + 36 = 1,

25х² + 60х + 36 - 1 = 0,

25х² + 60х + 35 = 0,

5х² + 12х + 7 = 0,

D = 12² - 4 · 5 · 7 = 144 - 140 = 4; √4 = 2.

х₁ = (-12 + 2)/(2 · 5) = -10/10 = -1

х₂ = (-12 - 2)/(2 · 5) = -14/10 = -1,4

ответ: -1,4 и -1.

Воспользуемся равенством

tg α – tg β = tg (α – β) (1 + tg α tg β).

Получаем:

tg x tg 2x tg 3x = tg 3x – tg x + tg 4x – tg 2x,
tg x tg 2x tg 3x = tg 2x (1 + tg x tg 3x) + tg 2x (1 + tg 2x tg 4x),
tg 2x (1 + tg x tg 3x – tg x tg 3x + 1 + tg 2x tg 4x) = 0,
tg 2x = 0 или tg 2x tg 4x = –2.

С первым понятно, что делать. Второе:

tg 2x tg 4x = –2,

tg 2x · 2 tg 2x / (1 – tg² 2x) = –2,
tg² 2x = tg² 2x – 1.

Это равенство невозможно.

Все решения получаются из уравнения tg 2x = 0, то есть 2x = πn, x = πn/2. Значения с нечётными n не подходят (tg x и tg 3x не существуют) , значит, ответ x = πk. Возможно так