Чтобы решить это неравенство, мы должны найти значения переменной x, при которых выражение больше нуля в заданном интервале (-1; +∞). Давайте пошагово разберёмся, как это сделать.
1. Начнем с разложения левой части неравенства:
(m-1)x^2 + 2mx + 3m - 2 > 0
2. Для удобства давайте объединим все коэффициенты, связанные с m. Обратите внимание, что коэффициенты стоят перед x^2 и x, а также есть свободный член:
(x^2 + 2x + 1)m + (x^2 + 2x - 2) > 0
3. Заметим, что выражение в скобках является полным квадратом. Заменяя его на этот квадрат, получим:
(x + 1)^2m + (x^2 + 2x - 2) > 0
4. Давайте далее проведём дополнительное преобразование, чтобы избавиться от квадрата:
(x + 1)^2m + (x + 1)(x - 2) > 0
5. Нулевую точку умножим на m, чтобы получить m^2(x + 1)^2m:
m^2(x + 1)^2m + (x + 1)(x - 2) > 0
6. Теперь у нас есть два множителя, умноженные друг на друга. Мы можем решать это неравенство в виде системы уравнений:
m^2(x + 1)^2m > -(x + 1)(x - 2)
7. После раскрытия скобок получаем:
m^2(x + 1)^2m > -x^2 + 3x - 2
8. Перепишем обе части неравенства в порядке убывания:
-x^2 + 3x - 2 < m^2(x + 1)^2m
9. Для нахождения интервалов, в которых неравенство выполнено, давайте разобьем его на две системы уравнений, меняя знак неравенства:
