1). доведіть методом ї індукції: а) 1 × 3 + 2 × 5 + . . + n ( 2 n + 1 ) = 1 6 n ( n + 1 ) ( 4 n + 5 ) ; б) 1 3 ( 1 + 3 3 + 5 3 2 + . . + 2 n − 1 3 n − 1 ) = 1 − n + 1 3 n . 2). методом ї індукції доведіть, що при n ∈ n , значення виразу 13 n + 5 кратне 6. 3). методом ї індукції доведіть, що при n ∈ n , 2 n ≥ 3 n − 1 .

Пусть масса цинка Х, тогда процент меди в сплаве:
 (20кг:(20+Х)кг)·100%, 
При добавлении 25 кг меди, а ее содержание в сплаве стало:
(45кг:(45+Х)кг)·100%
разница в процентном содержании меди:
(45:(45+Х))·100% - (20:(2-+Х))·100%=20%
Для удобства вычисления избавимся от %, т.е. разделим все части уравнения на 100%: 45/(45+Х)-20/(20+Х)=0,2; приведем к общему знаменателю: 45·(20+Х)-20·(45+Х)=0,2·(45+Х)·(20+Х);
900+45Х-900+20Х=0,2(Х²+65Х+900);  25Х=0,2Х²+13Х+180;
0,2Х²-12Х+180=0; Х₁=[12+√(144-144)]:0,4=12:0,4=30(кг),(т.к. подкорнем0, то Х₁=Х₂=30кг. Это масса цинка.
А первоначальная масса сплава =20кг+Х=20кг+30кг=50кг

                   цинк                  медь               всего      содержание меди
---------------------------------------------------------------------------------------------------
было            х                        20                 х+20                    20/(x+20)
---------------------------------------------------------------------------------------------------
стало           х                       20+25            х+20+25              45/(x+45)
---------------------------------------------------------------------------------------------------

составляем уравнение

 

решаем
45(x+20)-20(x+45)=0.2(x+45)(x+20)
45x+900-20x-900=0.2(x²+45x+20x+900)
25x=0.2x²+13x+180
0.2x²-12x+180=0
2x²-120+1800=0
x²-60+900=0
(x-30)²=0
x=30 (кг)       -     масса цинка
30+20=50  (кг)   - масса всего сплава