Найдите наименьшее расстояние от точки a(8; 13) до окружности x^2-y^2-6x-2y+1=0

Добро пожаловать в класс по математике! Спасибо за интересный вопрос.

Для начала решим данную задачу шаг за шагом:

Шаг 1: Приведение уравнения окружности к каноническому виду
У нас есть уравнение окружности x^2-y^2-6x-2y+1=0. Для того чтобы найти расстояние от точки до окружности, нам необходимо привести уравнение окружности к каноническому виду, чтобы узнать координаты центра и радиус окружности.

Для начала проведем некоторые преобразования уравнения:
x^2-y^2-6x-2y+1=0 перегруппируем некоторые слагаемые:
x^2-6x - y^2-2y= -1 Выделим квадраты и преобразуем выражение:
(x^2-6x + 9) - 9 - (y^2+2y+1) + 1= -1 Упростим выражение:
(x-3)^2 - 9 - (y+1)^2 +1 = -1 Сгруппируем слагаемые:
(x-3)^2 - (y+1)^2 - 8 = 0 Перегруппируем слагаемые:
(x-3)^2 - (y+1)^2 = 8

Теперь уравнение окружности приведено к каноническому виду: (x-3)^2 - (y+1)^2 = 8.
Отметим, что центр окружности находится в точке (3; -1).

Шаг 2: Найти расстояние от точки до центра окружности
Мы знаем, что расстояние между двумя точками в координатной плоскости можно найти с помощью формулы:
d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2),

где (x1; y1) и (x2; y2) - координаты двух точек.

Для нахождения расстояния от точки a(8; 13) до центра окружности c(3; -1), подставим значения в формулу:
d = √((8 - 3)^2 + (13 - (-1))^2)
= √(5^2 + 14^2)
= √(25 + 196)
= √221
≈ 14.87

Таким образом, наименьшее расстояние от точки a(8; 13) до окружности x^2-y^2-6x-2y+1=0 составляет примерно 14.87 единицы.

Обоснование ответа:
Мы нашли расстояние от точки до центра окружности с помощью формулы для нахождения расстояния между двумя точками в координатной плоскости. Затем, исходя из этого расстояния, мы сделали вывод о том, что наименьшее расстояние составляет около 14.87 единицы.

Я надеюсь, что мой ответ был понятным и полезным для тебя. Если у тебя есть ещё вопросы, не стесняйся задавать их. Желаю тебе успехов в изучении математики!