Найти производную и дифференциал функций f(x)=√x⋅e√x , f(x)=√2x−1 x

Добрый день! Очень рад, что Вы обратились ко мне за помощью. Давайте рассмотрим каждую из функций по отдельности и найдем их производные и дифференциалы.

1. Найдем производную и дифференциал функции f(x) = √x ⋅ e^(√x):
Шаг 1: Применим правило производной произведения функций (производная произведения равна произведению производных).
f'(x) = (√x)' ⋅ e^(√x) + √x ⋅ (e^(√x))'
Шаг 2: Найдем производные каждого слагаемого по отдельности.
(√x)' = (1/2) * x^(-1/2) (применяем правило производной для корня)
(e^(√x))' = e^(√x) * (√x)' = e^(√x) * (1/2) * x^(-1/2) (применяем правило производной для экспоненты)

Шаг 3: Подставим найденные производные в выражение для f'(x).
f'(x) = (1/2) * x^(-1/2) * e^(√x) + √x * e^(√x) * (1/2) * x^(-1/2)

Шаг 4: Распишем выражение с помощью правил алгебры и приведем к общему знаменателю.
f'(x) = (1/2) * x^(-1/2) * e^(√x) + (1/2) * x^(-1/2) * √x * e^(√x)

Шаг 5: После общего знаменателя можно сложить два слагаемых.
f'(x) = (1/2) * x^(-1/2) * e^(√x) + (1/2) * √x * x^(-1/2) * e^(√x)

Шаг 6: Упростим выражение, сократив x^(-1/2).
f'(x) = (1/2) * e^(√x) * (x^(-1/2) + √x * x^(-1/2))

Поздравляю! Мы нашли производную функции f(x) = √x ⋅ e^(√x).
Теперь перейдем к дифференциалу функции:

Дифференциал функции f(x) будет выглядеть следующим образом: df(x) = f'(x) * dx.

2. Теперь рассмотрим функцию f(x) = √(2x - 1) / x:

Шаг 1: Перепишем функцию в виде f(x) = (2x - 1)^(1/2) * x^(-1).

Шаг 2: Найдем производную и дифференциал функции.

Производная функции равна:
f'(x) = (1/2) * (2x - 1)^(-1/2) * 2 + (-1) * x^(-2).

Дифференциал функции будет:
df(x) = f'(x) * dx.

Таким образом, производная и дифференциал функции f(x) = √(2x - 1) / x равны:

f'(x) = (1/2) * (2x - 1)^(-1/2) * 2 + (-1) * x^(-2),
df(x) = f'(x) * dx.

Надеюсь, что мой ответ был исчерпывающим и понятным. Если у Вас остались дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!