Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Следовательно, достаточно найти уравнения двух любых высот треугольника и точку их пересечения, решив систему двух уравнений.
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Значит надо найти уравнение стороны треугольника и уравнение прямой, проходящей через противоположную вершину, перпендикулярно этой стороне.
Уравнение прямой АВ найдем по формуле:
(X-Xa)/(Xb-Xa)=(Y-Ya)/(Yb-Ya). Или
(X+4)/2=(Y-0)/-2 - каноническое уравнение =>
y=-x-2 - уравнение прямой с угловым коэффициентом k=-1.
Условие перпендикулярности прямых: k1=-1/k => k1=1.
Тогда уравнение перпендикуляра к стороне АВ из вершины С
найдем по формуле:
Y-Yс=k1(X-Xс) или Y-2=X-2 =>
y=х (1) - это уравнение перпендикуляра СС1.
Уравнение прямой АС:
(X-Xa)/(Xс-Xa)=(Y-Ya)/(Yс-Yа). Или
(X+4)/6=(Y-0)/2 - каноническое уравнение =>
y=(1/3)x+4/3 - уравнение прямой с угловым коэффициентом k=1/3.
Условие перпендикулярности прямых: k1=-1/k => k1 = -3.
Тогда уравнение перпендикуляра к стороне АС из вершины В
найдем по формуле:
Y-Yb=k1(X-Xb) или Y+2=-3(X+2) =>
y=-3х-8 (2)- это уравнение перпендикуляра BB1.
Точка пересечения перпендикуляров имеет координаты:
х=-3х - 8 (подставили (1) в (2)) => х = -2.
Тогда y = -2.
ответ: точка пересечения высот совпадает с вершиной В(-2;-2)
треугольника, то есть треугольник прямоугольный с <B=90°.
Для проверки найдем длины сторон треугольника:
АВ=√(((-2-(-4))²+(-2)²) = 2√2.
ВС=√(((2-(-2))²+(2-(-2))²) = 4√2.
АС=√(((2-(-4))²+2²) = 2√10.
АВ²+ВС² = 40; АС² = 40.
По Пифагору АВ²+ВС² = АС² - треугольник прямоугольный.
Объяснение:
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Дано : ∡ F =90° ; KM=16; S =32
∡K -? , ∡M -?
ответ: 15° , 75° .
Объяснение: S =a*b/2 , где a и b катеты треугольника
Меньший из острых углов обозначим через α , тогда
a = 16sinα , b = 16cosα S =16sinα *16cosα /2 = 32 ⇔
2sinα*cosα =1 /2 ⇔ sin2α = 1 /2 ⇒
2α =30° или 2α =150° , т.е. α= 15° или α=75° .
∡K = α = 15° ( меньший угол ).
другой острый угол: ∡M =90°- ∡K=90°- 15° =75°.
- - - - - - - - - - - - - 2 - ой
Пусть FM = x ; FK =y и пусть x < y ( FM_меньший катет)
{ x²+y² =16² ; xy/2 =32.⇔{ ( x+y)²-2xy=256 ; xy =64 .⇔
( запись уравнений в системе → в одной строке )
{ ( x+y)²- 2*64=256 ; xy =64 .⇔{ ( x+y)²=6*64 ; xy =64 . || x+y > 0|| ⇔
{ x+y=8√6 ; xy =64 . || теорема Виета ||
x² -8√6x +64 = 0 x₁ =4√6 -4√2 ; x₂ =4√6 +4√2 || x₁ <x₂ ||
x = 4√2(√3 -1)
sinα = ( 4√2(√3 -1) ) / 16 = √2(√3 -1) / 4
cos2α = 1 - 2sin²α = 1 -2 (√2(√3 -1) / 4 )² = 1 -2*2(√3 -1)² / 16 =
1 -(√3 -1)²/4 = ( 4 - (3 -2√3+1) ) / 4 = 2√3 / 4 =√3 / 2
2α = 30° ⇒ α =15° * * * * * * * алгебра * * * * * * *
