(x^3+4x^2-9x-36)/(x^3+2x^2-11x-12)
Разложим числитель на множители:
x^3+4x^2-9x-36= (x^3+4x^2)-(9x+36)=x^2(x+4)-9(x+4)=(x^2-9)(x+4)=(x-3)(x+3)(x+4)
Разложим знаменатель на множители:
x^3+2x^2-11x-12
Попробуем подобрать число, при подстановке которого наше выражение равно нулю. Первое такое число "-1". Разделим наш знаменатель на х+1:
x^3+2x^2-11x-12 | x+1
x^3 +x^2 x^2+x-12
x^2 -11x
x^2 + x
-12x-12
-12x-12
0
Мы получили квадратное уравнение х^2+x-12,
корнями которого будут числа "3" и "-4".
Итак, x^3+2x^2-11x-12=(х+1)(х-3)(х+4)
Наша дробь примет вид (x-3)(x+3)(x+4)/(х+1)(х-3)(х+4)=(х+3)/(х+1)
Шанс получить в конце 324, 184 или 696 есть только в случае, когда ни одно из перемножаемых чисел не делится на 5 (иначе последняя цифра была бы нулем). Поэтому нужно проанализировать только произведение (5n+1)(5n+2)(5n+3)(5n+4).
Сначала поставим несколько экспериментов.
естественно выдвинуть гипотезу, что на конце такого произведения всегда будут цифры 024. Докажем ее.
Поскольку n(n+1) является произведением двух соседних натуральных чисел, оно является четным числом: n(n+1)=2k, поэтому получившееся произведение можно записать в виде
Это доказывает, что две последние цифры - это 2 и 4, но мы замахнулись на более тонкий результат. Имеем:
Если k - четное число, то все произведение делится на 1000. Если k - нечетное число, 5k+1 - четное число, и снова все произведение делится на 1000.
Вывод: произведение последовательных натуральных чисел не может заканчиваться ни на 324, ни на 184, ни на 696.
Замечание. Если вопрос был бы только про 324, все это исследование не потребовалось бы, поскольку среди четырех последовательных чисел обязательно найдутся четное число и отличное от него число, делящееся на 4, поэтому их произведение обязательно делится на 8. А вот число, оканчивающееся на 324, на 8 не делится.
