План-конспект урока
Алгебра
8 класс
Тема: Доказательство неравенств
Цель:
Образовательная: формирование умений доказательства неравенств, формирование
Этапы занятия:
Организационный момент.
Актуализация опорных занятий.
Усвоение новых знаний и действий.
Первичное закрепление знаний и действий.
Контроль и самопроверка знаний, рефлексия.
Подведение итогов занятий.
ХОД ЗАНЯТИЯ
1. Организационный момент. Подготовка учащихся к работе на занятии.
2. Подготовка к основному этапу. Обеспечение мотивации, значимости изучаемой темы занятия и принятия учащимися учебно-познавательной деятельности, актуализация опорных знаний.
а) С неравенств сравниваются большие и малые величины;
b) Во С какого приема мы умеем доказывать неравенство вида aответ:
- Один из приемов доказательства неравенства ab) сводят к доказательству равносильного ему неравенства a-b<0 (a-b>0);
c) Повторим данное доказательство на примере неравенства Коши.
“Среднее арифметическое неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического”:

Доказать: 
Доказательство: Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства:

Неотрицательность квадрата любого вещественного числа очевидна.
Значит,  – верное неравенство.
3.
a) Во Попробуем сформулировать другой прием.
ответ (учитель ответить на во Другой прием состоит в том, чтобы показать, что данное неравенство является следствием некоторого очевидного неравенства:
(a-b)2  0, (a+b)2  0 или неравенства Коши  , при а0, b0, выражающее соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел;
b) Докажем, что (a+b)(ab+1)  4ab, при а0, b0.
Доказательство: Рассмотрим a+b и ab+1.
Используем очевидное неравенство Коши:

второго множителя.

Перемножим получившиеся неравенства:

с) Так же используют следующий прием: предполагают, что данное неравенство верно при заданных значениях переменных, строят цепочку неравенств-следствий, приводящую к некоторому очевидному неравенству. Рассматривая затем эту цепочку неравенств снизу вверх, показывают, что данное неравенство является следствием полученного очевидного неравенства и потому верно при указанных значениях переменных.
Значит, доказательство (a+b)·(ab+1)  4ab, при а0, b0 можно выполнить другим Допустим, что при а0, b0 данное неравенство верно, т.е.:

Используя неравенство Коши дважды для каждого множителя, имеем:

Значит, (a+b)·(ab+1)  4ab, при а0, b0, что и требовалось доказать.
4. Докажем: 
Доказательство: Допустим, что данное неравенство верно.

Получили очевидное неравенство.
Значит, данное неравенство  верно.
Во Мы можем привести доказательство данного неравенства из очевидного неравенства (a+b-2)2  0?
ответ: Да, для этого сделаем обратные шаги (рассказать по готовой записи)
Объяснение:
как то так, неуверен
Задание решается методом интервалов:
1. (х² - 11)(15 - х²) ≥ 0
1) Находим нули
(х² - 11)(15 - х²) = 0
если
х = ±√15
х = ±√11
2) Отмечаем корни на координатной прямой (см. приложение)
Черными точками обозначаются числа, включающиеся в интервал, а белыми — исключающиеся из него.
3) Отмечаем знаки функций на координатной прямой (см. приложение)
Определяются методом подстановки чисел из интервала.
ответ: х ∍ [-√15;-√11] U [√11;√15]
Квадратные скобки говорят, что числа в них включаются в интервал, а круглые, что числа исключаются из него.
Остальное решается аналогично.
2. (х² - 6х + 5)(х + 8) > 0
(х² - 6х + 5)(х + 8) = 0
если
х = -8
…………………………(х² - 6х + 5)
…………………………D = 16
х = 5
х = 1
ответ: х ∍ (-8;1) U (5;+∞)
3. (х² - х + 11)(4 - х) ≥ 0
(х² - х + 11)(4 - х) = 0
если
х = 4
…………………………(х² - х + 11)
…………………………D = -43; D < 0
…………………………ветви параболы направлены вверх.
…………………………функция всегда положительная
ответ: х ∍ (-∞;4]
4. (х² + 2х + 14)(х² - 9) > 0
(х² + 2х + 14)(х² - 9) = 0
если
х = ±3
……………………………(х² + 2х + 14)
……………………………D = -52; D < 0
……………………………ветви параболы направлены вверх
……………………………функция всегда положительная
ответ: х ∍ (-∞;-3) U (3;+∞)
